在如圖所示的幾何體中,平面ACE⊥平面ABCD,四邊形ABCD為平行四邊形,∠ACB=90°,EF∥BC,AC=BC=
2
,AE=EC=1.
(1)求證:AE⊥平面BCEF;
(2)求三棱錐D-ACF的體積.
分析:(1)由平面AC2=AE2+CE2平面,知AE⊥EC,由此能夠證明BC⊥AE.
(2)設AC的中點為G,連接EG,由AE=CE,知EG⊥AC,由BC⊥平面AEC,知EG⊥BC,由此推導出點F到平面ABCD的距離就等于點E到平面ABCD的距離,由此能求出三棱錐D-ACF的體積.
解答:解:(1)∵平面AC2=AE2+CE2平面,
∴AE⊥EC,且平面ACE∩平面,AE⊥ECBF,BC⊥AC,
BC?平面BCEF,∴BC⊥平面AEC.…(2分)
∴BC⊥AE,…(3分)
AC=
2
,AE=EC=1,∴AC2=AE2+CE2
∴AE⊥EC…(4分)
且BC∩EC=C,∴AE⊥平面ECBF.…(6分)
(2)設AC的中點為G,連接EG,∵AE=CE,∴EG⊥AC
由(1)知BC⊥平面AEC,∴BC⊥EG,即EG⊥BC,
又AC∩BC=C,∴EG⊥平面ABCD…(8分)
EF∥BC,EF?平面ABCD,
所以點F到平面ABCD的距離就等于點E到平面ABCD的距離
即點F到平面ABCD的距離為EG的長…(10分)
VD-ACF=VF-ACD=VE-ACD=
1
3
S△ACDEG
,
S△ACD=
1
2
AC•AD=
1
2
×
2
×
2
=1
EG=
1
2
AC=
2
2

VD-ACF=
1
3
×1×
2
2
=
2
6
,
即三棱錐D-ACF的體積為
2
6
.…(12分)
點評:本題考查直線與平面垂直的證明,考查三棱錐的體積的求法,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD、ADEF、ABGF均為全等的直角梯形,且BC∥AD,AB=AD=2BC.
(Ⅰ)求證:CE∥平面ABGF;
(Ⅱ)求二面角G-CE-D的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在如圖所示的幾何體中,平行四邊形ABCD的頂點都在以AC為直徑的圓O上,AD=CD=DP=a,AP=CP=
2
a,DP∥AM,且AM=
1
2
DP,E,F(xiàn)分別為BP,CP的中點.
(I)證明:EF∥平面ADP;
(II)求三棱錐M-ABP的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•朝陽區(qū)一模)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為平行四邊形,∠ABD=90°,EB⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,EF=1,BC=
13
,且M是BD的中點.
(Ⅰ)求證:EM∥平面ADF;
(Ⅱ)在EB上是否存在一點P,使得∠CPD最大?若存在,請求出∠CPD的正切值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在如圖所示的幾何體中,面CDEF為正方形,面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AB=2BC,∠ABC=60°,AC⊥FB.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面FBC;
(Ⅱ)線段ED上是否存在點Q,使平面EAC⊥平面QBC?證明你的結論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)在如圖所示的幾何體中,EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=BD=2AE=2,M是AB的中點. 
(1)求證:CM⊥平面ABDE;
(2)求幾何體的體積.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案