Question

（2006•南京一模）一位學(xué)生每天騎自行車(chē)上學(xué)，從他家到學(xué)校有5個(gè)交通崗，假設(shè)他在交通崗遇到紅燈是相互獨(dú)立的，且首末兩個(gè)交通崗遇到紅燈的概率均為p，其余3個(gè)交通崗遇到紅燈的概率均為

1

2

．
（1）若p=

2

3

，求該學(xué)生在第三個(gè)交通崗第一遇到紅燈的概率；
（2）若該學(xué)生至多遇到一次紅燈的概率不超過(guò)

5

18

，求p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）故該學(xué)生在第三個(gè)交通崗第一遇到紅燈，說(shuō)明該學(xué)生在前2個(gè)交通崗都沒(méi)有遇到紅燈，第三個(gè)交通崗遇到
紅燈，再根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式求得結(jié)果．
（2）該學(xué)生至多遇到一次紅燈，指沒(méi)有遇到紅燈（記為A），或恰好遇到一次紅燈（記為B）．
求得P（A）=（1-p）²•(1-

1

2

)3，P（B）=

C

0 2

•（1-p）²•

C

1 3

•

1

2

•(1-

1

2

)2+

C

1 2

•p•（1-p）•

C

0 3

•(1-

1

2

)3的值，
再根據(jù)P（A）+P（B）≤

5

18

，結(jié)合0≤p≤1，求得p的取值范圍．

解答：解：（1）記該學(xué)生在第i個(gè)交通崗遇到紅燈A_i（i=1，2，…，5），
故該學(xué)生在第三個(gè)交通崗第一遇到紅燈的概率為 P(

.

A1

•

.

A2

•A3)=(1-

2

3

)×(1-

1

2

)×

1

2

=

1

12

．
（2）該學(xué)生至多遇到一次紅燈，指沒(méi)有遇到紅燈（記為A），或恰好遇到一次紅燈（記為B）．
故P（A）=（1-p）²•(1-

1

2

)3=

1

8

（1-p）²，
P（B）=

C

0 2

•（1-p）²•

C

1 3

•

1

2

•(1-

1

2

)2+

C

1 2

•p•（1-p）•

C

0 3

•(1-

1

2

)3=

3

8

（1-p）²+

1

4

p（1-p）．

1

8

(1-p)2+

3

8

(1-p)2+

1

4

p(1-p)≤

5

18

⇒

1

3

≤p≤

8

3

．
又0≤p≤1，所以p的取值范圍是[

1

3

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，等可能事件的概率，屬于中檔題．