Question

已知定義在R上的函數f（x）=log₂（x²+ax+5）（a＞0），其值域為[2，+∞）．
（1）求函數f（x）的解析式．
（2）討論函數f（x）在區(qū)間[b，+∞）（b∈R）上的單調性．（寫出完整解題過程）

Answer 1

解：（1）由題意函數f（x）=log₂（x²+ax+5）在R上的最小值為2，
因為函數y=log₂u在（0，+∞）上是增函數，
所以當f（x）=log₂（x²+ax+5）取最小值時，u=x²+ax+5也取最小值
所以函數y=x²+ax+5在R上的最小值為2²=4，
得，解得a=2，
所以f（x）的解析式為f（x）=log₂（x²+2x+5）
（2）因為y=log₂u在（0，+∞）上是增函數，
函數u=x²+2x+5在（-∞，-1]上單調遞減，在[-1，+∞）上單調遞增
所以函數f（x）=log₂（x²+ax+5）在在（-∞，-1]上單調遞減，在[-1，+∞）上單調遞增
所以，當b≥-1時，函數f（x）在區(qū)間[b，+∞）上單調遞增
當b＜-1時，函數f（x）在區(qū)間[b，-1]上單調遞減，在[-1，+∞）上單調遞增．
分析：（1）根據函數f（x）=log₂（x²+ax+5）（a＞0）的值域為[2，+∞），可知u=x²+ax+5的最小值為4，x∈R，利用二次函數的最值求法，即可求得結果；
（2）欲求得函數f（x）=log₂（x²+ax+5）在區(qū)間[b，+∞）（b∈R）上的單調性，將函數f（x）=log₂（x²+ax+5）分解成兩部分：f（U）=log₂U外層函數，U=x²+ax+5是內層函數．外層函數是對數函數，其底數大于1，是（0，+∞）增函數，故要求函數f（x）在區(qū)間[b，+∞）（b∈R）上的單調性，即求函數U=x²+ax+5在區(qū)間[b，+∞）上的單調性即可，注意分類討論．
點評：本題考查與對數函數有關的復合函數的值域和單調性的判定，體現了分類討論的數學思想，考查運算能力，屬中檔題．