Question

設f（x）=|x+a|-2x，a＜0，不等式f（x）≤0的解集為M，且M⊆{x|x≥2}．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a取最大值時，求f（x）在[1，10]上的最大值．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,集合的包含關系判斷及應用

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用,集合

分析：（1）由絕對值的定義，去掉絕對值，得到不等式組，解出它們，求并集，即得M，再由集合的包含關系，即可得到a的取值范圍；
（2）由（1）得到a的最大值，進而得到f（x）的表達式，運用分段函數(shù)表示f（x），再判斷它的單調性，即可得到最大值．

解答： 解：（1）不等式f（x）≤0即|x+a|≤2x，等價于

x+a≥0 x+a≤2x

或

x+a＜0 -x-a≤2x

，
即有x≥-a或-

a

3

≤x＜-a，即x≥-

a

3

，
則不等式f（x）≤0的解集為M={x|x≥-

a

3

}，
由于M⊆{x|x≥2}，則-

a

3

≥2，解得a≤-6；
（2）由（1）知，a的最大值為-6，此時f（x）=|x-6|-2x，
當x∈[1，10]，f（x）=

-x-6，6≤x≤10 -3x+6，1≤x＜6

，
易知f（x）在[1，10]上為減函數(shù)，
則f（x）在[1，10]上的最大值為f（1）=3．

點評：本題考查絕對值不等式的解法和集合的包含關系，考查函數(shù)的單調性及運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．