(2013•懷化二模)對(duì)于定義域和值域均為[0,1]的函數(shù)f(x),定義f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x)),…,fn(x)=f(fn-1(x)),n=1,2,3,…滿(mǎn)足fn(x)=x的點(diǎn)稱(chēng)為f的n階周期點(diǎn).設(shè)f(x)=
  2x     (0≤x≤
1
2
)
2-2x  (
1
2
<x≤1)
,則(1)方程f(x)=x的正根是
2
3
2
3
;(2)f的2階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是
4
4
分析:本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理,方法是根據(jù)已知條件和遞推關(guān)系,先求出f的1階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù),2階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù),然后總結(jié)歸納其中的規(guī)律,f的n階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù).
解答:解:(1)當(dāng)0≤x≤
1
2
,方程f(x)=x 即 2x=x,解得 x=0,故方程沒(méi)有正實(shí)數(shù)根.
當(dāng)
1
2
<x≤1,方程f(x)=x 即 2-2x=x,解得x=
2
3

綜上可得,方程f(x)=x的正根是
2
3

故答案為
2
3

(2)當(dāng)x∈[0,
1
2
]時(shí),f1(x)=2x=x,解得x=0;
當(dāng)x∈( 
1
2
,1]時(shí),f1(x)=2-2x=x,解得x=
2
3

∴f的1階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2.
當(dāng)x∈[0,
1
4
]時(shí),f1(x)=2x,方程f2(x)=x,即4x=x,解得x=0.
當(dāng)x∈( 
1
4
,
1
2
]時(shí),f1(x)=2x,方程f2(x)=x,即2-4x=x,解得x=
2
5

當(dāng)x∈( 
1
2
,
3
4
]時(shí),f1(x)=2-2x,方程f2(x)=x,即-2+4x=x,解得x=
2
3

當(dāng)x∈( 
3
4
,1]時(shí),f1(x)=2-2x,方程f2(x)=x,即4-4x=x,解得x=
4
5

∴f的2階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是22=4,
故答案為 4.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系,體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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(2013•綿陽(yáng)二模)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。

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(2013•懷化二模)已知角α,β的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的正半軸重合,α,β∈(0,π),角β的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-
5
13
,角α+β的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是
3
5
,則cosα=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•懷化二模)已知f(x)=2ax-
b
x
+lnx
在x=1與x=
1
2
處都取得極值.
(Ⅰ) 求a,b的值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2mx+m,若對(duì)任意的x1∈[
1
2
,2]
,總存在x2∈[
1
2
,2]
,使得、g(x1)≥f(x2)-lnx2,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•懷化二模)某高校在2013年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī),按成績(jī)共分五組,得到頻率分布表如下表所示.
組號(hào) 分組 頻數(shù) 頻率
第一組 [160,165) 5 0.05
第二組 [165,170) 35 0.35
第三組 [170,175) 30 a
第四組 [175,180) b 0.2
第五組 [180,185) 10 0.1
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)為了能選出最優(yōu)秀的學(xué)生,高校決定在筆試成績(jī)高的第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取12人進(jìn)入第二輪面試,求第3、4、5組中每組各抽取多少人進(jìn)入第二輪的面試;考生李翔的筆試成績(jī)?yōu)?78分,但不幸沒(méi)入選這100人中,那這樣的篩選方法對(duì)該生而言公平嗎?為什么?
(Ⅲ)在(2)的前提下,學(xué)校決定在12人中隨機(jī)抽取3人接受“王教授”的面試,設(shè)第4組中被抽取參加“王教授”面試的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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