21.在數(shù)列中，，其中.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）求數(shù)列的前項和；

（Ⅲ）證明存在，使得對任意均成立.

（Ⅰ）解法一：，

，

.

由此可猜想出數(shù)列的通項公式為.

以下用數(shù)學歸納法證明.

（1）當時，，等式成立.

（2）假設當時等式成立，即，

那么

.

這就是說，當時等式也成立.根據(jù)（1）和（2）可知，等式對任何都成立.

解法二：由，，

可得，

所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項為0，故，所以數(shù)列的通項公式為.

（Ⅱ）解：設，　　�、�

　　　　　　　　   ②

當時，①式減去②式，

得，

.

這時數(shù)列的前項和.

當時，.這時數(shù)列的前項和.

（Ⅲ）證明：通過分析，推測數(shù)列的第一項最大，下面證明：

.　　　�、�

由知，要使③式成立，只要，

因為

.

所以③式成立.

因此，存在，使得對任意均成立.

練習冊系列答案
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在數(shù)列中，，其中．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項和；
（Ⅲ）證明存在，使得對任意均成立．

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在數(shù)列中，，其中．

(Ⅰ)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

(Ⅱ)求證：

 

 

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