Question

17．設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+1=n²+a_n+1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_n•2${\;}^{{a}_{n}}$，Tn是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)S_n+1=n²+a_n+1可知S_n=n²，利用當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1計(jì)算，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）、利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵S_n+1=n²+a_n+1，
∴S_n=n²，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1
=n²-（n-1）²
=2n-1，
又∵a₁=1滿(mǎn)足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n-1；
（2）由（1）可知b_n=（2n-1）•2^2n-1，
∴T_n=1•2+3•2³+5•2⁵+…+（2n-1）•2^2n-1，
4T_n=1•2³+3•2⁵+…+（2n-3）•2^2n-1+（2n-1）•2²ⁿ⁺¹，
兩式錯(cuò)位相減得：-3T_n=2+2（2³+2⁵+…+2^2n-1）-（2n-1）•2²ⁿ⁺¹
=2+2•$\frac{{2}^{3}（1-{2}^{2n-2}）}{1-{2}^{2}}$-（2n-1）•2²ⁿ⁺¹
=-$\frac{10}{3}$-$\frac{6n-5}{3}$•2²ⁿ⁺¹，
∴T_n=$\frac{10}{9}$+$\frac{6n-5}{9}$•2²ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．