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21、如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點E，∠BAC的平分線與BC交于點D．
求證：ED²=EB•EC．

分析：根據(jù)已知EA是圓的切線，AC為過切點A的弦得兩個角相等，再結(jié)合角平分線條件，從而得到△EAD是等腰三角形，再根據(jù)切割線定理即可證得．

解答：證明：因為EA是圓的切線，AC為過切點A的弦，

所以∠CAE=∠CBA．
又因為AD是?BAC的平分線，所以∠BAD=∠CAD
所以∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE
所以，△EAD是等腰三角形，所以EA=ED．
又EA²=EC•EB，
所以ED²=EB•EC．

點評：此題主要是運用了弦切角定理的切割線定理．注意：切線長的平方應(yīng)是EB和EC的乘積．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，某小區(qū)準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余地方種花．若BC=20米，∠ABC=θ，設(shè)△ABC的面積為S₁，正方形PQRS的面積為S₂，將比值

稱為“規(guī)劃合理度”．
（1）試用θ表示S₁和S₂．
（2）當θ變化時，求“規(guī)劃合理度”取得最小值時的角θ的大�。�

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，某小區(qū)準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，△ABC外的地方種草，其余地方種花．若BC=a，∠ABC=θ，設(shè)△ABC的面積為S₁，正方形PQRS的面積為S₂，將比值

稱為“規(guī)劃合理度”．
（1）試用a，θ表示S₁和S₂；
（2）若a為定值，當θ為何值時，“規(guī)劃合理度”最小？并求出這個最小值．

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，某小區(qū)準備綠化一塊直徑為AB的半圓形空地，點C在半圓弧上，半圓內(nèi)△ABC外的地方種草，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS內(nèi)部為一水池，其余地方種花，若AB=2a，∠CAB=θ，設(shè)△ABC的面積為S₁，正方形PQRS的邊長為x，面積為S₂，將比值

稱為“規(guī)劃合理度”．
（1）求證：x=

2asin2θ

2+sin2θ

．
（2）當a為定值，θ變化是，求“規(guī)劃合理度”的最小值及此時角θ的大�。�

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•楊浦區(qū)二模）如圖，某小區(qū)準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余地方種花．若BC=a，∠ABC=θ，設(shè)△ABC的面積為S₁，正方形PQRS的面積為S₂，將比值

稱為“規(guī)劃合理度”．
（1）試用a，θ表示S₁和S₂．
（2）（理）當a為定值，θ變化時，求“規(guī)劃合理度”取得最小值時的角θ的大�。�
（3）（文）當a為定值，θ=15⁰時，求“規(guī)劃合理度”的值．

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007年上海市楊浦區(qū)、靜安區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（文理合卷）（解析版） 題型：解答題

如圖，某小區(qū)準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余地方種花．若BC=a，∠ABC=θ，設(shè)△ABC的面積為S₁，正方形PQRS的面積為S₂，將比值

稱為“規(guī)劃合理度”．
（1）試用a，θ表示S₁和S₂．
（2）（理）當a為定值，θ變化時，求“規(guī)劃合理度”取得最小值時的角θ的大�。�
（3）（文）當a為定值，θ=15時，求“規(guī)劃合理度”的值．

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