Question

已知f（x）=．
（I）求f（x）的周期，并求x∈（0，π）時(shí)的單調(diào)增區(qū)間；
（II）在△ABC中，a、b、分別是角A，B，C所對(duì)的邊，若，且，求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將函數(shù)解析式第二項(xiàng)分子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，約分后兩項(xiàng)提取4，利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的周期，根據(jù)正弦函數(shù)的增區(qū)間列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，找出與已知x的范圍的公共部分，即可得到f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（II）由A的度數(shù)求出sinA及cosA的值，再由a的值，利用正弦定理表示出c與b，然后利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)所求的式子，將表示出的c與b代入，并將sinA，cosA及a的值代入，整理后根據(jù)A的度數(shù)，求出B+C的度數(shù)，用B表示出C，代入化簡(jiǎn)后的式子中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，最后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域，即可得到所求式子的最大值．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sinx+2cosx=4sin（x+），…（2分）
∵ω=1，∴T=2π，
令2kπ-≤x+≤2kπ+（k∈Z），解得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），
當(dāng)k=0時(shí)，-≤x≤；當(dāng)k=1時(shí)，≤x≤，
∵x∈（0，π），
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，]∪[，π）；…（6分）
（Ⅱ）∵A=，a=，
∴由正弦定理=得：c=，同理可得b=，
∵sinA=，cosA=，a=，C=-B，
∴•=cbcosA=•cosA=2sinBsin（-B）
=sinBcosB+sin²B=sin2B+（1-cos2B）=+sin（2B-），
∴當(dāng)2B-=，即B=時(shí)，•最大值為．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域與值域，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．