Question

5．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a，b＞0）的左右焦點為F₁、F₂，過F₂的直線交雙曲線的右支于M、N兩點，若|PF₁|=|F₁F₂|，且2|PF₂|=$\sqrt{2}$|QF₂|，則該雙曲線的離心率為7-4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)出雙曲線的焦點，運用雙曲線的定義求得|PF₂|=|PF₁|-2a=2c-2a，結(jié)合條件可得|QF₁|=|QF₂|+2a=2$\sqrt{2}$（c-a），在△PF₁F₂和△QF₁F₂中，分別運用余弦定理以及∠F₁F₂Q+∠F₁F₂P=π，得cos∠F₁F₂Q+cos∠F₁F₂P=0，化簡整理，由離心率公式計算即可得到．

解答 解：設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
則|PF₁|=|F₁F₂|=2c，
由雙曲線的定義可得|PF₂|=|PF₁|-2a=2c-2a，
由2|PF₂|=$\sqrt{2}$|QF₂|，可得|QF₂|=2$\sqrt{2}$（c-a），
由雙曲線的定義可得|QF₁|=|QF₂|+2a=2$\sqrt{2}$c+（2-2$\sqrt{2}$）a，
在△PF₁F₂中，4c²=4c²+[2（c-a）]²-2•2c•2（c-a）cos∠F₁F₂P
∴cos∠F₁F₂P=$\frac{c-a}{2c}$
在△QF₁F₂中，[2$\sqrt{2}$c+（2-2$\sqrt{2}$）a]²=4c²+[2$\sqrt{2}$（c-a）]²-2•2c•2$\sqrt{2}$（c-a）cos∠F₁F₂Q，
∴cos∠F₁F₂Q=$\frac{c+a-2\sqrt{2}a}{2\sqrt{2}c}$
由∠F₁F₂Q+∠F₁F₂P=π，可得cos∠F₁F₂Q+cos∠F₁F₂P=0，
即有$\frac{c-a}{2c}$+$\frac{c+a-2\sqrt{2}a}{2\sqrt{2}c}$=0，即有e=$\frac{c}{a}$=7-4$\sqrt{2}$．
故答案為：7-4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，運用雙曲線的定義和余弦定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題和易錯題．