Question

函數(shù)f（x）=lnx，（a≠0）
（1）b=2時(shí)，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）存在減區(qū)間，求a的取值范圍
（2）函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象交于P，Q兩點(diǎn)，過(guò)PQ中點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)l，l與曲線(xiàn)y=f（x），y=g（x）分別交于M，N點(diǎn)，設(shè)曲線(xiàn)y=f（x）在M處的切線(xiàn)為l₁，曲線(xiàn)y=g（x）在N處的切線(xiàn)為l₂，證明l₁∥l₂．

Answer 1

解：（1）當(dāng)b=2時(shí)，，
函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）存在減區(qū)間，等價(jià)于＜0，在x＞0時(shí)解集非空集，
即關(guān)于x的不等式ax²+2x-1＞0（a≠0）有解，
當(dāng)a＞0時(shí)，ax²+2x-1＞0顯然有解；
而當(dāng)a＜0時(shí)，只需△=4+4a＞0，解得-1＜a＜0，
∴a的取值范圍為：a＞0或-1＜a＜0 …（7分）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），設(shè)0＜x₁＜x₂，由題意可得M、N的橫坐標(biāo)，
則M點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為，N點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為，
假設(shè)存在0＜x₁＜x₂使l₁∥l₂，即，
∴==f（x₁）-f（x₂）=，
假設(shè)（*），…（10分）
考慮t∈（0，1）的單調(diào)性，
∵
可知h（t）是t∈（0，1）的增函數(shù)（也是R⁺上增函數(shù)），故h（t）＜h（1）=0，
因此　，
此結(jié)論與題設(shè)（*）矛盾，
∴l(xiāng)₁∥l₂…（14分）
分析：（1）把b=2代入可得，而函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）存在減區(qū)間等價(jià)于＜0在x＞0時(shí)解集非空集，分類(lèi)討論可得；
（2）假設(shè)存在0＜x₁＜x₂使l₁∥l₂，即，從而有=，由導(dǎo)數(shù)法考慮t∈（0，1）的單調(diào)性可得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的恒成立問(wèn)題以及構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證明問(wèn)題，屬中檔題．