Question

在銳角△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且sin²B-

6

5

sinB+

9

25

=0．
（1）求sin（B+

π

4

）的值；
（2）若a=5，b=9，求cosA的值；
（3）若b=

7

，a+c=5，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）根據(jù)已知等式求得sinB的值，則cosB可求得，最后利用兩角和公式求得sin（B+

π

4

）的值．
（2）通過正弦定理求得sinA的值，進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系求得cosB的值．
（3）通過余弦定理和已知等式求得ac的值，最后根據(jù)三角形面積公式求得三角形的面積．

解答： 解：（1）由已知sin2B-

6

5

sinB+

9

25

=0，即(sinB-

3

5

)2=0，
所以sinB=

3

5

．
∵△ABC是銳角三角形，
∴cosB=

1-sin2B

=

4

5

∴sin(B+

π

4

)=sinBcos

π

4

+cosBsin

π

4

=

3

5

×

2

2

+

4

5

×

2

2

=

7 2

10

（2）由（1）知，sinB=

3

5

因為 a=5，b=9，由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得sinA=

asinB

b

=

5× 3 5

9

=

1

3

∵△ABC是銳角三角形，
∴cosA=

1-sin2A

=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

．
（3）由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB．                    
將cosB=

4

5

，b=

7

代入上式，整理得(a+c)2-

18

5

ac=7．     
因為 a+c=5，所以 ac=5．                                
所以△ABC的面積S=

1

2

acsinB=

1

2

×5×

3

5

=

3

2

．

點評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用，三角函數(shù)恒等變換的應用．考查了學生對基礎知識的綜合運用．