Question

已知向量

m

=（2sinx，cosx），

n

=（

3

cosx，2cosx），定義函數(shù)f（x）=

.

m

•

n

-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸與對(duì)稱中心．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）計(jì)算

m

•

n

的值，得出f（x）的解析式，從而求出函數(shù)最小正周期；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間、減區(qū)間以及對(duì)稱軸與對(duì)稱中心． 

解答： 解：（1）∵

m

•

n

=2

3

sinxcosx+2cos²x  
=

3

sin2x+cos2x+1
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴f（x）=

m

•

n

-1=2sin（2x+

π

6

），
∴函數(shù)的最小正周期是T=

2π

2

=π；
（2）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

），
令2kπ-

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

π

2

 （k∈Z），
則2kπ-

2π

3

＜2x＜2kπ+

π

3

 （k∈Z），
∴kπ-

π

3

＜x＜kπ+

π

6

 （k∈Z）
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（kπ-

π

3

，kπ+

π

6

）（k∈Z），
同理可得：f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

）（k∈Z），
由2x+

π

6

=

π

2

+kπ （k∈Z），
得x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
∴f（x）的對(duì)稱軸為x=

kπ

2

+

π

6

，（k∈Z），
由2x+

π

6

=kπ （k∈Z），
得x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z），
∴f（x）的對(duì)稱中心為 （

kπ

2

-

π

12

，0）（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合題目．