Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)函數(shù)，若的圖象與的圖象有，兩個不同的交點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）求出的表達式并求導，分類討論的單調(diào)性；（2）由題意可得有兩個不同的根，則①，②， 消去參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)求導研究函數(shù)單調(diào)性并利用放縮法推出，再次構(gòu)造函數(shù)，通過證明來證明.

（1），定義域為，

.

當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

當時，令，得，所以在，上單調(diào)遞增；

令，得，所以在上單調(diào)遞減.

當時，，在上單調(diào)遞增.

當時，令，得，所以在，上單調(diào)遞增；

令，得，所以在上單調(diào)遞減.

（2），

因為函數(shù)的圖象與的圖象有兩個不同的交點，

所以關(guān)于的方程，即有兩個不同的根.

由題知①，②，

①+②得③，

②-①得④.

由③，④得，不妨設(shè)，記.

令，則，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

則，即，所以.

因為

所以，即.

令，則在上單調(diào)遞增.

又，所以，

即，所以.

兩邊同時取對數(shù)可得，得證.