(本小題共14分)已知是由滿足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：對任意，①方程有實數(shù)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足．

（Ⅰ）判斷函數(shù)是否是集合中的元素，并說明理由；

（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域為，則對于任意，都存在，使得等式成立．試用這一性質(zhì)證明：方程有且只有一個實數(shù)根；

 

【答案】

解：（Ⅰ）因為①當時，，

所以方程有實數(shù)根0；

②，

所以，滿足條件；

由①②，函數(shù)是集合中的元素.          …………7分

（Ⅱ）假設(shè)方程存在兩個實數(shù)根），則.

不妨設(shè)，根據(jù)題意存在，

滿足.

因為，，且，所以.

與已知矛盾.又有實數(shù)根，

所以方程有且只有一個實數(shù)根.                 …………14分

【解析】本題是一道以集合為背景的創(chuàng)新題，考查函數(shù)的性質(zhì)和不等式的證明。考查學(xué)生的理解能力和分析能力。讀懂題意是解題的前提，解題是注意分類討論思想的應(yīng)用。

 

練習(xí)冊系列答案
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（08年北京卷文）（本小題共14分）

已知的頂點在橢圓上，在直線上，且．

（Ⅰ）當邊通過坐標原點時，求的長及的面積；

（Ⅱ）當，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題共14分）

已知雙曲線的離心率為，右準線方程為

（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)直線是圓上動點處的切線，與雙曲線交于不同的兩點，證明的大小為定值..

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（本小題共14分）
已知，動點到定點的距離比到定直線的距離小.
（I）求動點的軌跡的方程；
（Ⅱ）設(shè)是軌跡上異于原點的兩個不同點，,求面積的最小值；
（Ⅲ）在軌跡上是否存在兩點關(guān)于直線對稱？若存在，求出直線 的方程，若不存在，說明理由.

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（（本小題共14分）
已知橢圓.過點（m,0）作圓的切線l交橢圓G于A，B兩點.
（I）求橢圓G的焦點坐標和離心率；
（II）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值.

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（本小題共14分）  

已知點，，動點P滿足，記動點P的軌跡為W．

（Ⅰ）求W的方程；

（Ⅱ）直線與曲線W交于不同的兩點C，D，若存在點，使得成立，求實數(shù)m的取值范圍．

 

 

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