Question

在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中點(diǎn)．
（I）求證：CM⊥EM；
（Ⅱ）求CM與平面CDE所成的角．

Answer 1

【答案】分析：方法一（I）說明△ACB是等腰三角形即可說明CM⊥AB，然后推出結(jié)論．
（II）過點(diǎn)M作MH⊥平面CDE，垂足是H，連接CH交延長交ED于點(diǎn)F，連接MF，MD．
∠FCM是直線CM和平面CDE所成的角，解三角形即可，
方法二建立空間直角坐標(biāo)系，
（I）證明垂直寫出相關(guān)向量CM和向量EM，求其數(shù)量積等于0即可證明CM⊥EM．
（II）求CM與平面CDE所成的角，寫出向量CM，以及平面的法向量，
利用數(shù)量積公式即可解答．
解答：解：方法一：（I）證明：因?yàn)锳C=BC，M是AB的中點(diǎn)，
所以CM⊥AB．
又EA⊥平面ABC，
所以CM⊥EM．
（II）解：過點(diǎn)M作MH⊥平面CDE，垂足是H，連接CH交延長交ED于點(diǎn)F，
連接MF，MD．∠FCM是直線CM和平面CDE所成的角．
因?yàn)镸H⊥平面CDE，ED⊥MH，
又因?yàn)镃M⊥平面EDM，
所以CM⊥ED，
則ED⊥平面CMF，因此ED⊥MF．
設(shè)EA=a，
在直角梯形ABDE中，，M是AB的中點(diǎn)，
所以DE=3a，，，
得△EMD是直角三角形，其中∠EMD=90°，
所以．
在Rt△CMF中，，
所以∠FCM=45°，
故CM與平面CDE所成的角是45°．

方法二：如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA，CB分別為x軸和y軸，
過點(diǎn)C作與平面ABC垂直的直線為z軸，建立直角坐標(biāo)系C-xyz，設(shè)EA=a，
則A（2a，0，0），B（0，2a，0），E（2a，0，a）．D（0，2a，2a），M（a，a，0）．
（I）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214519055849662/SYS201310232145190558496018_DA/5.png">，，
所以，故EM⊥CM．

（II）解：設(shè)向量n=（1，y，z）與平面CDE垂直，則，，
即，．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214519055849662/SYS201310232145190558496018_DA/12.png">，，
所以y=2，x=-2，
，
直線CM與平面CDE所成的角θ是n與夾角的余角，
所以θ=45°，
因此直線CM與平面CDE所成的角是45°．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，
同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力．利用空間直角坐標(biāo)系解答時(shí)，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性．