Question

如圖，在△ABC中，已知A（，0），B（，0），CD⊥AB于D，△ABC的垂心為H，且，
（Ⅰ）求點(diǎn)H的軌跡方程；
（Ⅱ）若過定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G，H（點(diǎn)G在F，H之間），且滿足，求λ的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（x，y），C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，m），則D（x，0），
∴，
∴m=2y，
故C點(diǎn)為（x，2y），
∵，
∴，x²+2y²=2，
故點(diǎn)H的軌跡方程為（y≠0）；
（Ⅱ）當(dāng)直線GH斜率存在時(shí)，設(shè)直線GH方程為y=kx+2，
代入橢圓方程，得，
由Δ＞0得，
設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
則，
又∵，
∴（x₁，y₁-2）=λ（x₂，y₂-2），
∴x₁=λx₂，
∴x₁+x₂=（1+λ）x₂，，
∴，
∴，
整理得，
，
∴，
∴，解得，
時(shí)，，
∴，
又∵0＜λ＜1，
∴；
又當(dāng)直線GH斜率不存在，方程為x=0，，
∴。