Question

設函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c，
①函數(shù)f（x）在R上有最小值；
②當b＞0時，函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的圖象關于點（0，c）對稱；
④當b＜0時，方程f（x）=0有三個不同實數(shù)根的充要條件是b²＞4|c|．
則上述命題中所有正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：計算題,閱讀型,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：①當b＜0時，可以根據(jù)函數(shù)的值域加以判斷函數(shù)f（x）在R上是否有最小值；
②當b＞0時，把函數(shù)f（x）=|x|x+bx+c分x≥0和x＜0兩種情況討論，轉化為二次函數(shù)求單調(diào)性；
③函數(shù)f（x）的圖象關于點（0，c）對稱，可以根據(jù)函數(shù)圖象的平移解決；
④當b＜0時，方程f（x）=0有三個不同實數(shù)根，考慮函數(shù)f（x）與x軸有三個交點，如圖，其充要條件是函數(shù)y=f（x）的極大值大于0且極小值小于0，即可得到結論．

解答： 解：對于①，當b＜0時，f（x）=|x|x+bx+c
=

x2+bx+c，x≥0 -x2+bx+c，x＜0

，值域是R，
故函數(shù)f（x）在R上沒有最小值，則①錯；
對于②，當b＞0時，f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c，x≥0 -x2+bx+c，x＜0

，
知函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，則②對；
對于③，若f（x）=|x|x+bx，
那么函數(shù)f（x）是奇函數(shù)（f（-x）=-f（x）），
也就是說函數(shù)f（x）的圖象關于（0，0）對稱．
而函數(shù)f（x）=|x|x+bx+c的圖象是由函數(shù)f（x）=|x|x+bx的圖象沿y軸移動，故圖象一定是關于（0，c）對稱的，則③對；
對于④，當b＜0時，方程f（x）=0有三個不同實數(shù)根，
考慮函數(shù)f（x）與x軸有三個交點，如圖，
其充要條件是函數(shù)y=f（x）的極大值大于0且極小值小于0，
即

4c-b2

4

＜0，

-4c-b2

-4

＞0，即有b²＞4c且b²＞-4c，即有b²＞4|c|成立，
則④對．
故答案為：②③④

點評：本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性、對稱性和最值等問題，對于含有絕對值的一類問題，通常采取去絕對值的方法解決，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想；函數(shù)的對稱性問題一般轉化為函數(shù)的奇偶性加以分析，再根據(jù)函數(shù)圖象的平移解決，體現(xiàn)了轉化、運動的數(shù)學思想；對于存在性的命題研究，一般通過特殊值法來解決．