已知F為橢圓(a>b>0)的右焦點,直線l過點F且與雙曲線的兩條漸進線l1,l2分別交于點M,N,與橢圓交于點A,B.
(Ⅰ)若,雙曲線的焦距為4.求橢圓方程.
(Ⅱ)若(O為坐標原點),,求橢圓的離心率e.

【答案】分析:(Ⅰ)由雙曲線的兩條漸近線的夾角以及雙曲線的焦點位置可得到關(guān)于a,b的等式,再根據(jù)雙曲線的焦距又可得到一個含a,b的等式,解得a,b的值,代入橢圓中,即可得到橢圓方程.
(Ⅱ)根據(jù)可知直線l垂直于l1,因為l1是雙曲線的漸近線,可求出l1的方程,再根據(jù)l垂直于l1,就可得到l的斜率,再根據(jù)F點坐標求出直線l的方程,再由求出A點坐標,代入橢圓方程,就可得到關(guān)于a,c的齊次式,因為離心率e=,即可求出離心率e.
解答:解:(Ⅰ)∵雙曲線的焦點在x軸上,
∴漸近線方程為y=±x
∴漸進線l1的斜率為
又∵,M,N是直線l與雙曲線兩條漸近線l1,l2的交點,
∴漸進線l1的傾斜角為,
,即
∵雙曲線的焦距為4,
∴a2+b2=4.
代入,得,a2=3,b2=1
∴橢圓方程為
(Ⅱ)解:設(shè)橢圓的焦距為2c,則點F的坐標為(c,0)
,∴l(xiāng)⊥l1
∵直線l1的方程為y=x,∴直線l的斜率為,
∴直線l的方程為
聯(lián)立l1,l方程,由解得
即點
設(shè)A(x,y),由,得
,解得,

∵點A在橢圓上,代入橢圓方程,得
即 (3c2+a22+a4=16a2c2,
∴(3e2+1)2+1=16e2,即9e4-10e2+2=0
解得

橢圓的離心率是
點評:本題(Ⅰ)主要考查了雙曲線的漸近線方程,以及雙曲線中a,b,c之間的關(guān)系的應用.(Ⅱ)考查了直線與圓錐曲線關(guān)系的判斷,以及橢圓離心率的求法.
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A.
B.
C.
D.

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