Question

若函數(shù)是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求t的值；
（Ⅱ）求f（x）的定義域，并判斷f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）解關于a的不等式f（a-1）+f（2a-1）≤0．

Answer 1

解：（Ⅰ）由函數(shù)是奇函數(shù)，可得f（-x）+f（x）=0，可得（t²-1）x²=0，該式對定義域內(nèi)的x恒成立，
故t²=1，又t≠1，故t=-1．…
（Ⅱ）當t=-1時，f（x）的定義域為（-1，1）．又=，函數(shù)y=-1+在（-1，1）上是減函數(shù)，
由復合函數(shù)的單調(diào)性判斷可知：f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞增．…
（Ⅲ）f（a-1）+f（2a-1）≤0等價于f（a-1）≤f（1-2a），結(jié)合（Ⅰ）（Ⅱ）可得：，解得：．…
分析：（Ⅰ）由f（-x）+f（x）=0，可得（t²-1）x²=0，該式對定義域內(nèi)的x恒成立，故t²=1，又t≠1，可得t的值．
（Ⅱ）當t=-1時，f（x）的定義域為（-1，1）．又=，函數(shù)y=-1+在（-1，1）上是減函數(shù)，再由復合函數(shù)的單調(diào)性判斷可知f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)性．
（Ⅲ）f（a-1）+f（2a-1）≤0等價于f（a-1）≤f（1-2a），結(jié)合（Ⅰ）（Ⅱ）可得：，由此解得a的范圍．
點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應用，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于中檔題．