Question

已知a，b，c為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，且b＜a＜c，滿足

sinB+sinC

sinA

=

2-cosB-cosC

cosA

，函數(shù)f（x）=sinωx（ω＞0）在區(qū)間[0，

π

3

]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[

π

3

，

π

2

]上單調(diào)遞減．
（1）證明：b，a，c成等差數(shù)列；
（2）若f（

π

9

）=cosA，且a=2，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）通過已知表達式，去分母化簡，利用兩角和與差的三角函數(shù)，化簡表達式通過正弦定理直接推出b+c=2a；
（2）利用函數(shù)的周期求出ω，通過f（

π

9

）=cosA，求出A，由余弦定理可解得b，c的值，從而由三角形面積公式即可得解．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）∵

sinB+sinC

sinA

=

2-cosB-cosC

cosA

，
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA
=sin（A+B）+sin（A+C）
=2sinA…（3分）
所以sinC+sinB=2sinA…（5分）
所以b+c=2a，即有b，a，c成等差數(shù)列．…（6分）
（2）由題意知：由題意知：

2π

ω

=

4π

3

，解得：ω=

3

2

，…（8分）
因為f（

π

9

）=sin

π

6

=

1

2

=cosA，A∈（0，π），所以A=

π

3

…（9分）
由余弦定理知：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

…（10分）
所以b²+c²-a²=bc因為b+c=2a，所以b²+c²-（

b+c

2

）²=bc，
即：b²+c²-2bc=0所以b=c…（11分）
所以可解得：b=c=2，從而有：S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

．…（12分）

點評：本題主要考查三角函數(shù)的化簡求值，兩角和與差的三角函數(shù)，正弦定理與余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．