Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+b）（其中a，b為常數(shù)，且a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，2），B（-1，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=（

a

b

）^2x-（

a

b

）^x-1，x∈[0，+∞），求g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）把A（1，2），B（-1，1）．代入函數(shù)f（x）=log_a（x+b），解得a和b的值，即可求得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）由（1）知g(x)=(

2

3

)2x-(

2

3

)x-1，x∈[0，+∞)．令t=(

2

3

)x，0＜t≤1，可得g(t)=t2-t-1=(t-

1

2

)2-

5

4

，t∈(0，1]，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)
求得g（t）的最值，即可得到它的值域．

解答：解：（1）把A（1，2），B（-1，1）．代入f（x）=log_a（x+b）得

2=loga(1+b) 1=loga(-1+b)

．
結(jié)合a＞0，a≠1，解得a=2，b=3，故f（x）=log₂（x+3）．…（5分）
（2）由（1）知a=2，b=3，∴g(x)=(

2

3

)2x-(

2

3

)x-1，x∈[0，+∞)．
令t=(

2

3

)x，0＜t≤1，∴g(t)=t2-t-1=(t-

1

2

)2-

5

4

，t∈(0，1]，
當(dāng)t=

1

2

時(shí)g（t）取最小值-

5

4

；當(dāng)t=1時(shí)，g（t）取最大值-1．
因此g（t）的值域?yàn)?span id="gsw2e46" class="MathJye">[-

5

4

，-1]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，對(duì)數(shù)函數(shù)的退昂和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值，屬于中檔題．