Question

如圖，在四棱錐0-ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是邊長為2的正方形，且OA=2，M，N分別為OA，BC的中點．
（Ⅰ）求證：直線MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求點B到平面DMN的距離．

Answer 1

【答案】分析：（I）分別以AB、AD、AO為x、y、z軸，建立如圖坐標(biāo)系．求得B、C、D、O、M、N各點的坐標(biāo)，從而得出、、、、的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法解方程組，得到平面OCD的法向量為=（0，1，1），再計算出•═0，可得⊥，結(jié)合MN是平面OCD外的直線，得到直線MN∥平面OCD；
（II）利用垂直向量數(shù)量積為零的方法解方程組，得到平面DMN的法向量=（1，2，4），再結(jié)合空間點到平面距離公式，可算出點B到平面DMN的距離．
解答：解：（I）分別以AB、AD、AO為x、y、z軸，建立如圖坐標(biāo)系
可得B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0）
∴=（2，1，-1），=（0，-2，2），=（2，0，0），=（2，0，0），=（0，1，0）
設(shè)平面OCD的法向量為=（x，y，z），
由，得
取y=1，得z=1，x=0，所以平面OCD的法向量為=（0，1，1），
∴•=2×0+1×1+（-1）×1=0，可得⊥
又∵MN?平面OCD，
∴直線MN∥平面OCD；
（II）設(shè)平面DMN的法向量=（x'，y'，z'），
由=（0，-2，1），=（2，-1，0），得
，得
取x'=1，得平面DMN的法向量=（1，2，4），
∴點B到平面DMN的距離為：d=
點評：本題在特殊四棱錐中，證明線面平行并求點到平面的距離，著重考查了利用空間坐標(biāo)系，結(jié)合向量數(shù)量積運算的方法證明線面平行和求點到平面距離等知識點，屬于中檔題．