Question

4．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|=1$，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$，$（{2\overrightarrow a+\overrightarrow b}）⊥\overrightarrow b$，則向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 由條件利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積的定義，求得向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角的余弦值，可得向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角．

解答 解：設向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角為θ，θ∈[0，π]，
∵向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|=1$，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$，$（{2\overrightarrow a+\overrightarrow b}）⊥\overrightarrow b$，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-1．
再根據(jù)（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=-2+${\overrightarrow}^{2}$=0，可得${\overrightarrow}^{2}$=2，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1•$\sqrt{2}$•cosθ=-1，∴cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，θ=$\frac{3π}{4}$，
故選：D．

點評 本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎題．