Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+ax²-x，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=

1

4

時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的極值；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)b∈（0，1），使得當(dāng)x∈（-1，b]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為f（b）？若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）將a=

1

4

代入到f（x）的表達(dá)式中并求導(dǎo)，計(jì)算其單調(diào)區(qū)間從而確定其極值．
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，注意到分子中x前的系數(shù)為2a，則分成a≤0和a＞0兩種情況討論，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=

1

4

時(shí)，f（x）=ln（x+1）+

1

4

x²-x，
則f′（x）=

x(x-1)

2(x+1)

，（x＞-1）
∴函數(shù)在（-1，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，且f（0）=0，f（1）=ln2-

3

4

，
∴函數(shù)y=f（x）在x=1處取到極小值為ln2-

3

4

，在x=0處取到極大值為0．
（Ⅱ）由題意f′(x)=

x(2ax-(1-2a))

x+1

（1）當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
此時(shí)，不存在實(shí)數(shù)b∈（0，1），使得當(dāng)x∈（-1，b]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為f（b）； …（7分）
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0有x=0或x=

1

2a

-1，
（ⅰ）當(dāng)

1

2a

-1＜0即a＞

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在(-1，

1

2a

-1)和（0，+∞）上單調(diào)遞增，在(

1

2a

-1，0)上單調(diào)遞減，要存在實(shí)數(shù)b∈（0，1），使得當(dāng)x∈（-1，b]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為f（b），則f(

1

2a

-1)＜f(1)，代入化簡得ln2a+

1

4a

+ln2-1＞0…（1）
令g(a)=ln2a+

1

4a

+ln2-1(a＞

1

2

)，因g′(a)=

1

a

(1-

1

4a

)＞0恒成立，
故恒有g(a)＞g(

1

2

)=ln2-

1

2

＞0，∴a＞

1

2

時(shí)，（1）式恒成立； …（10分）
（ⅱ）當(dāng)

1

2a

-1＞0即0＜a＜

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，0）和(

1

2a

-1，+∞)上單調(diào)遞增，在(0，

1

2a

-1)上單調(diào)遞減，
此時(shí)由題，只需f（1）＞0，解得a＞1-ln2，又1-ln2＜

1

2

，
∴此時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍是1-ln2＜a＜

1

2

； …（12分）
（ⅲ）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，
顯然符合題意； …（13分）
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1-ln2，+∞）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．