Question

7．如圖，在△ABC中，點M是BC中點，點N在AC上，且AN=2NC，AM交BN于點P，則AP：PM的值為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． 4
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 M為BC中點，從而有$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，這便可得到$\overrightarrow{AP}=\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{AC}$，而B，P，N三點共線，并且AN=2NC，從而有$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}（1-k）\overrightarrow{AC}$，從而可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{2}=k}\\{\frac{λ}{2}=\frac{2}{3}（1-k）}\end{array}\right.$，解出λ即可求出AP：PM的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AM}$；
∴$\overrightarrow{AP}=\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{AC}$；
∵B，P，N三點共線；
∴$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}+（1-k）\overrightarrow{AN}$=$k\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}（1-k）\overrightarrow{AC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{2}=k}\\{\frac{λ}{2}=\frac{2}{3}（1-k）}\end{array}\right.$；
解得$λ=\frac{4}{5}$；
∴AP：PM=4：1；
即AP：PM的值為4．
故選：C．

點評 考查向量加法的平行四邊形法則，共線向量基本定理，以及平面向量基本定理，向量數(shù)乘的幾何意義．