Question

若集合A具有以下性質：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，則x－y∈A，且x≠0時，∈A．則稱集合A是“好集”．

(Ⅰ)分別判斷集合B＝{－1，0，1}，有理數集Q是否是“好集”，并說明理由；

(Ⅱ)設集合A是“好集”，求證：若x，y∈A，則x＋y∈A；

(Ⅲ)對任意的一個“好集”A，分別判斷下面命題的真假，并說明理由．

命題p：若x，y∈A，則必有x·y∈A；

命題q：若x，y∈A，且x≠0，則必有∈A；

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)集合B不是“好集”．理由是：假設集合B是“好集”．

　　因為，，所以．這與矛盾．　2分

　　有理數集是“好集”．因為，，對任意的，有，且時，．

　　所以有理數集Q是“好集”．　4分

　　(Ⅱ)因為集合A是“好集”，所以．若，則，即．

　　所以，即．　6分

　　(Ⅲ)命題均為真命題．理由如下：　7分

　　對任意一個“好集”A，任取，若中有0或1時，顯然．

　　下設均不為0，1．由定義可知：．所以，即．

　　所以．由(Ⅱ)可得：，即．同理可得．

　　若或，則顯然．若且，則．

　　所以．所以_．由(Ⅱ)可得：．

　　所以．綜上可知，，即命題為真命題．若，且，則．

　　所以，即命題為真命題．　13分