Question

（04年北京卷理）（14分）

f(x)是定義在[0，1]上的增函數(shù)，滿足f(x)=2f()且f(1)=1，在每個區(qū)間（i=1，2，…）上，y=f(x)的圖象都是斜率為同一常數(shù)k的直線的一部分。

（I）求f(0)及f()，f()的值，并歸納出f()（i=1，2，…）的表達式；

（II）設(shè)直線x=，x=，x軸及y=f(x)的圖象圍成的梯形的面積為a_i  (i=1，2，…)，記S(k)=(a₁+a₂+…+a_n)，求S(k)的表達式，并寫出其定義域和最小值。

Answer 1

解析：（I）由f(0)=2f(0)，得f(0)=0.

        由f(1)=2f()及f(1)=1，得f()=f(1)= .

        同理，f()=f()=.

        歸納得f()=(i=1，2，…).

（II）當<x≤時，

f(x)= +k(x-)，

a_i=[++k(－)](－)

 =(1－)(i=1，2，…).

所以{a_n}是首項為(1－)，公比為的等比數(shù)列，

所以S(k)=(a₁+a₂+…+a_n)=(1－).

S(k)的定義域為0<k≤1，當k=1時取得最小值.