Question

（本題滿(mǎn)分13分）如圖，圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O直徑．

（Ⅰ）證明：平面平面；
（Ⅱ）設(shè)，在圓柱內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于三棱柱內(nèi)的概率為．
（�。┊�(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值；
（ii）記平面與平面所成的角為，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）見(jiàn)解析
（Ⅱ）（�。�  （ii）

（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824002240785376.png" style="vertical-align:middle;" />平面ABC，平面ABC，所以，
因?yàn)锳B是圓O直徑，所以，又，所以平面，
而平面，所以平面平面．          ………3分
（Ⅱ）（i）有AB=AA₁=2，知圓柱的半徑，其體積
三棱柱的體積為，
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824002241269671.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，從而，
故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最大值是．             ………8分
(ii）方法一：延長(zhǎng)A₁A，B₁O交于G，取AC中點(diǎn)H，連OH，則OH∥BC，且，OH⊥平面，過(guò)H作HK⊥CG，連OK，則，在Rt中，作，則 有，則，在Rt中，，
方法二：取AC中點(diǎn)H，可用射影面積法
方法三：由（i）可知，取最大值時(shí)，，于是以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
建立空間直角坐標(biāo)系，則C（1，0，0），B（0，1，0），（0，1，2），
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824002240988344.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面的法向量，由，故，
取得平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824002241830547.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以．              ………13分