【題目】如圖,正三角形ABE與菱形ABCD所在的平面互相垂直,,,M是AB的中點.
(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在線段EC上是否存在點P,使得直線AP與平面ABE所成的角為,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3) 在線段EC上存在點P,理由見解析.
【解析】
(1)推導出,從而平面ABCD,由此能證明.
(2)推導出,,從而MB、MC、ME兩兩垂直,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角的余弦值.
(3)求出和平面ABE的法向量,利用向量法能示出在線段EC上存在點P,使得直線AP與平面ABE所成的角為,且.
證明:Ⅰ,M是AB的中點,,
平面平面ABCD,
平面平面,平面ABE,
平面ABCD,平面ABCD,
解:(2) 平面ABCD,,是正三角形,
、MC、ME兩兩垂直.
建立如圖所示空間直角坐標系
則0,,0,,0,,,0,,
,0,,
設y,是平面BCE的一個法向量,
則,
令,得,
軸與平面ABE垂直,1,是平面ABE的一個法向量
,
二面角的余弦值為
(3)假設在線段EC上存在點P,使得直線AP與平面ABE所成的角為.
0,,,
設,,
則,
直線AP與平面ABE所成的角為,
,
由,解得,
在線段EC上存在點P,使得直線AP與平面ABE所成的角為,且
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【題目】如圖,四棱錐中,,,,,.
(1)求證:平面平面;
(2)在線段上是否存在點,使得平面與平面所成銳二面角為?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點為別為F1、F2,且過點和.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)如圖,點A為橢圓上一位于x軸上方的動點,AF2的延長線與橢圓交于點B,AO的延長線與橢圓交于點C,求△ABC面積的最大值,并寫出取到最大值時直線BC的方程.
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【題目】某廠包裝白糖的生產(chǎn)線,正常情況下生產(chǎn)出來的白糖質(zhì)量服從正態(tài)分布(單位:).
(Ⅰ)求正常情況下,任意抽取一包白糖,質(zhì)量小于的概率約為多少?
(Ⅱ)該生產(chǎn)線上的檢測員某天隨機抽取了兩包白糖,稱得其質(zhì)量均小于,檢測員根據(jù)抽檢結(jié)果,判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常,要求立即停產(chǎn)檢修,檢測員的判斷是否合理?請說明理巾.
附:,則,,.
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【題目】已知橢圓的離心率為,且經(jīng)過點P,過它的左、右焦點分別作直線l1和12.l1交橢圓于A.兩點,l2交橢圓于C,D兩點, 且
(1)求橢圓的標準方程.
(2)求四邊形ACBD的面積S的取值范圍.
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【題目】在四棱錐中,底面為平行四邊形,平面平面,是邊長為4的等邊三角形,,是的中點.
(1)求證:;
(2)若直線與平面所成角的正弦值為,求平面 與平面所成的銳二面角的余弦值.
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【題目】已知點P在曲線x2+y2=1上運動,過點P作x軸的垂線,垂足為Q,動點M滿足.
(1)求動點M的軌跡方程;
(2)點AB在直線x﹣y﹣4=0上,且AB=4,求△MAB的面積的最大值.
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【題目】拋物線的焦點為,準線為,若為拋物線上第一象限的一動點,過作的垂線交準線于點,交拋物線于兩點.
(Ⅰ)求證:直線與拋物線相切;
(Ⅱ)若點滿足,求此時點的坐標.
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