Question

【題目】如圖，正三角形ABE與菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，M是AB的中點．

（1）求證:;

（2）求二面角的余弦值;

（3）在線段EC上是否存在點P，使得直線AP與平面ABE所成的角為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3） 在線段EC上存在點P,理由見解析.

【解析】

（1）推導出，從而平面ABCD，由此能證明．

（2）推導出，，從而MB、MC、ME兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（3）求出和平面ABE的法向量，利用向量法能示出在線段EC上存在點P，使得直線AP與平面ABE所成的角為，且．

證明：Ⅰ，M是AB的中點，，

平面平面ABCD，

平面平面，平面ABE，

平面ABCD，平面ABCD，

解：（2） 平面ABCD，，是正三角形，

、MC、ME兩兩垂直．

建立如圖所示空間直角坐標系

則0，，0，，0，，，0，，

，0，，

設y，是平面BCE的一個法向量，

則，

令，得，

軸與平面ABE垂直，1，是平面ABE的一個法向量

，

二面角的余弦值為

（3）假設在線段EC上存在點P，使得直線AP與平面ABE所成的角為．

0，，，

設，，

則，

直線AP與平面ABE所成的角為，

，

由，解得，

在線段EC上存在點P，使得直線AP與平面ABE所成的角為，且