Question

（本大題滿分18分）本大題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿6分，第3小題滿8分.

已知集合具有性質(zhì)：對任意，與至少一個屬于.

（1）分別判斷集合與是否具有性質(zhì)，并說明理由；

（2）①求證：；

②求證：；

（3）研究當(dāng)和時，集合中的數(shù)列是否一定成等差數(shù)列.

 

Answer 1

【答案】

（1）集合不具性質(zhì)．

（2）見解析；

（3）成等差數(shù)列．

【解析】本試題是由創(chuàng)新的試題，利用新定義的理解，分析現(xiàn)有的問題。并能結(jié)合數(shù)列的知識，求解數(shù)列是否為等差數(shù)列的判定問題的綜合運用。

（1）根據(jù)已知條件，對任意，與至少一個屬于，則滿足性質(zhì)P，那么對于集合與分別利用定義判定可得。

（2）根據(jù)已知關(guān)系式得到① 

②。

，

進而求解和式。

（3）①當(dāng)時，集合中元素一定成等差數(shù)列．

②當(dāng)時，集合中元素不一定成等差數(shù)列如中0,1,2,3組成等差數(shù)列；中0,2,3,5不組成等差數(shù)列．③當(dāng)時，成等差數(shù)列．

解：（1）對于集合：

∴集合具有． ……………………………………………………………2分

對于集合：

，

∴集合不具性質(zhì)．………………………………………………………… 4分

（2）

① ……………………………… 6分

②

。

。

，

．………………………………………………………10分

（3）①當(dāng)時，集合中元素一定成等差數(shù)列．

證明：當(dāng)時，

∴．

即，又，∴．

故成等差數(shù)列．…………………………………………………………13分

②當(dāng)時，集合中元素不一定成等差數(shù)列．  ………………14分

如中0,1,2,3組成等差數(shù)列；中0,2,3,5不組成等差數(shù)列．………………15分

③當(dāng)時，成等差數(shù)列．

證明：當(dāng)時，

　

又

。

成等差數(shù)列．……………………………………………………18分