Question

已知：四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，且PA=AB=2，∠ABC=60°，BC、PD的中點分別為E、F．
（Ⅰ）求證BC⊥PE；
（Ⅱ）求二面角F-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）在線段AB上是否存在一點G，使得AF||平面PCG？若存在指出G在AB上位置并給以證明，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證BC⊥PE，要轉(zhuǎn)化為證明BC⊥平面PAE
（2）先做出二面角的平面角，再轉(zhuǎn)化為解三角形問題
（3）若AF∥平面PCG，關(guān)鍵是要找到平面PCG上可能與AF平行的直線．

解答：（Ⅰ）證明：
方法一：∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BC
連接AE∵底面ABCD是菱形∠ABC=60°
∴△ABC是正三角形，
又E時BC的中點∴BC⊥AE
而PA∩AE=ABC⊥平面PAE∴BC⊥PE
方法二：以AE、AD、AP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
用向量方法證明

BC

•

PE

=0，
從而得出BC⊥PE也可以
（Ⅱ）由Ⅰ知AE、AD、AP彼此兩兩垂直，故以AE、AD、AP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系
∵PA=AB=2∴A（0，0，0），B(

3

，-1，0)，C(

3

，1，0)，
D（0，2，0），E(

3

，0，0)，F(xiàn)（0，1，1），P（0，0，2）
∴

AF

=(0，1，1)，

CF

=(-

3

，0，1)
設平面FAC的法向量為

u

=(x，y，z)，
則

u • AF =0 u • CF =0

求得

u

=(

3

，-3，3)
平面ACD的法向量為

v

=(0，0，2)，
設二面角F-AC-D的平面角為θ，
則cosθ=

| u • v|

| u |•| v |

=

21

7

即二面角F-AC-D的余弦值為

21

7

（Ⅲ）在線段AB上存在中點G，使得AF∥平面PCG
方法1：設PC的中點為H，連接FH，
易證四邊形AGHF為平行四邊形，
∴AF∥GH又GH?平面PGC，AF?平面PGC∴AF∥平面PGC
方法2：假設在線段AB上存在點G，使得AF∥平面PCG，
則

AG

=λ

AB

（0≤λ＜1），∵

AB

=(

3

，-1，0)，
∴

AG

=λ

AB

=(

3

λ，-λ，0)，
∵

PA

=(0，0，-2)，
∴

PG

=

PA

+

AG

=(

3

λ，-λ，-2)
設平面PGC的法向量為

n

=(x，y，z)，
由

n • PG =0 n • PC =0

得

n

=(

λ+1

3 (λ-1)

，1，

λ

λ-1

)
∵

AF

=(0，1，1)，且

AF

•

n

=0，解得λ=

1

2

故在線段AB上存在中點G，使得AF∥平面PCG．

點評：線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據(jù)．
垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來．
證明線面垂直的方法：證明一個面過另一個面的垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點、高線與添加輔助線解決．