精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
若關于x的不等式x2+
1
2
x-(
1
2
n≥0(n∈N*),
(Ⅰ)求當n=1時,求不等式x2+
1
2
x-(
1
2
n≥0的解集;
(Ⅱ)當x∈(-∞,λ]時恒成立,求實數λ的取值范圍.
考點:函數恒成立問題,其他不等式的解法
專題:不等式的解法及應用
分析:(Ⅰ)當n=1時,不等式x2+
1
2
x-(
1
2
n≥0等價為一元二次不等式,利用一元二次不等式的解法即可求出不等式的解集;
(Ⅱ)當x∈(-∞,λ]時恒成立,將不等式恒成立轉化為函數的最值之間的關系,即可求實數λ的取值范圍.
解答: 解:(Ⅰ)當n=1時,不等式x2+
1
2
x-(
1
2
n≥0等價為x2+
1
2
x-
1
2
≥0,
即(x-
1
2
)(x+1)≥0,
解得x
1
2
或x≤-1,
即不等式的解集為{x|x
1
2
或x≤-1};
(Ⅱ)由式x2+
1
2
x-(
1
2
n≥0得式x2+
1
2
x≥(
1
2
n
即x2+
1
2
x≥(
1
2
nmax恒成立,
∵(
1
2
nmax=
1
2
,
即x2+
1
2
x≥
1
2
在x∈(-∞,λ]時恒成立,
設f(x)=x2+
1
2
x=(x+
1
4
2-
1
16
,對稱軸x=-
1
4

當x≤-
1
4
時,函數單調遞減,要使不等式恒成立,
則有λ2+
1
2
λ≥
1
2

解得λ≤-1,
當x>-
1
4
時,
左邊的最小值在x=-
1
4
處取得,
此時x2+
1
2
x=
1
16
-
1
8
=-
1
16
不成立,
綜實數λ的取值范圍是λ≤-1.
點評:本題主要考查不等式的解法,以及不等式恒成立問題,將不等式恒成立轉化為函數的最值問題是解決本題的關鍵,考查學生的計算能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

等比數列{an}中,a1•a9=256,a4+a6=40,則公比q為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知i為虛數單位,則
5i
1-2i
=( �。�
A、2+iB、-2+i
C、2-iD、-2-i

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

若ax2+ax+a+3>0對一切實數x恒成立,則實數a的取值范圍是(  )
A、( 0,+∞)
B、(-∞,-4)∪(0,+∞)
C、[0,+∞)
D、(-∞,0]

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

用定義法證明:函數f(x)=
1
x
-2在(0,+∞)上是減函數.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

利用函數的單調性,證明不等式x-x2>0(0<x<1),并通過函數圖象直觀驗證.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

某工廠為了擴大生產規(guī)模,計劃重新建造一個面積為10000 m2的矩形新廠址,新廠址的長為x m,則寬為
10000
x
m,所建圍墻ym,假如你是這個工廠的廠長,你會選擇一個長和寬各為多少米的矩形土地,使得新廠址的圍墻y最短?

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知圓O的半徑為R (R為常數),它的內接三角形ABC滿足2R(sin2A-sin2C)=(
2
a-b)sinB
成立,其中a,b,c分別為∠A,∠B,∠C的對邊,
(1)求角C;
(2)求三角形ABC面積S的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閻戣姤鍤勯柤鍝ユ暩娴犳艾鈹戞幊閸婃鎱ㄧ€靛憡宕叉慨妞诲亾闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘劖顏熼梻浣芥硶閸o箓骞忛敓锟� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬崘顕ч埞鎴︽偐閸欏鎮欑紓浣哄閸ㄥ爼寮婚妸鈺傚亞闁稿本绋戦锟�