Question

已知數(shù)列{a_n}中a₂=2且前n項和S_n=

n(an+3a1)

2

（n∈N^*），
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}中首項的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若T_n=

16

an+1an+3

，數(shù)列{t_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由Sn=

n(an+3a1)

2

，n∈N*，a₂=2，能夠?qū)С鰯?shù)列{a_n}中首項的值．
（Ⅱ）由Sn=

nan

2

，知2S_n=na_n，2S_n-1=（n-1）a_n-1，由此能導(dǎo)出

an

n-1

=

an-1

n-2

=

an-2

n-3

=…=

a3

2

=

a2

1

，從而得到a_n=2（n-1），n∈N^*．
（Ⅲ）由tn=

16

an+1an+3

=

2

n

-

2

n+2

，知Tn=(

2

1

-

2

3

)  +(

2

2

-

2

4

)  +…+(

2

n

-

2

n+2

)=3-

2

n+1

-

2

n+2

．

解答：解：（Ⅰ）∵Sn=

n(an+3a1)

2

，n∈N*，a₂=2，
∴S1=

a1+3a1

2

，∴a₁=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，Sn=

nan

2

，
∴2S_n=na_n，
2S_n-1=（n-1）a_n-1，
兩式相減，2（S_n-S_n-1）=na_n-（n-1）a_n-1，
∴2a_n=na_n-（n-1）a_n-1，（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，
∴

an

n-1

=

an-1

n-2

，n≥3，n∈N^*，
∴

an

n-1

=

an-1

n-2

=

an-2

n-3

=…=

a3

2

=

a2

1

，
∴a_n=2（n-1），n≥2．
經(jīng)檢驗，n=1也成立，∴a_n=2（n-1），n∈N^*．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，tn=

16

an+1an+3

=

2

n

-

2

n+2

，
∴Tn=(

2

1

-

2

3

)  +(

2

2

-

2

4

)  +…+(

2

n

-

2

n+2

)=3-

2

n+1

-

2

n+2

．

點評：本題考查數(shù)列中首項的求法和求解通項公式的方法，培養(yǎng)學(xué)生等差數(shù)列和等比數(shù)列綜合題的解決方法．