Question

已知2a+b-ab=0（a＞0，b＞0），當(dāng)ab取得最小值時(shí)，曲線(xiàn)

x|x|

a

-

y|y|

b

=1上的點(diǎn)到直線(xiàn)y=

2

x的距離取值范圍是（　�。�

• A、（0，2

  2

  ]
• B、[0，2

  2

  ]
• C、[0，+∞）
• D、（0，

  2 6

  3

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,曲線(xiàn)與方程

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：利用基本不等式可得b=2a=4．再對(duì)x，y分類(lèi)討論，畫(huà)出圖形，利用直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切的性質(zhì)即可得出．

解答：解：∵2a+b-ab=0（a＞0，b＞0），
∴ab=2a+b≥2

2ab

，化為

ab

(

ab

-2

2

)≥0，
∴

ab

≥2

2

，
解得ab≥8．
當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=4時(shí)取等號(hào)．
∴曲線(xiàn)為

x|x|

2

-

y|y|

4

=1．
當(dāng)x≥0，y≥0時(shí)，曲線(xiàn)化為

x2

2

-

y2

4

=1；
當(dāng)x≥0，y≤0時(shí)，曲線(xiàn)化為

x2

2

+

y2

4

=1；
當(dāng)x≤0，y≥0時(shí)，曲線(xiàn)化為

-x2

2

-

y2

4

=1，此時(shí)無(wú)圖形，應(yīng)舍去；
當(dāng)x≤0，y≤0時(shí)，曲線(xiàn)化為

-x2

2

+

y2

4

=1．
畫(huà)出圖形：由圖形可知：直線(xiàn)y=

2

x分別是曲線(xiàn)

x2

2

-

y2

4

=1，曲線(xiàn)

-x2

2

+

y2

4

=1的漸近線(xiàn)．因此點(diǎn)到直線(xiàn)y=

2

x的距離d＞0．
設(shè)直線(xiàn)y=

2

x+m與曲線(xiàn)

x2

2

+

y2

4

=1（x≥0，y≤0）相切．
聯(lián)立

y= 2 x+m 2x2+y2=4

化為4x2+2

2

mx+m2-4=0，
令△=8m²-16（m²-4）=0，解得m=-2

2

．
∴切線(xiàn)為y=

2

x-2

2

．
兩平行線(xiàn)y=

2

x-2

2

，y=

2

x的距離d=

|0+2 2 |

3

=

2 6

3

．
∴曲線(xiàn)

x|x|

a

-

y|y|

b

=1上的點(diǎn)到直線(xiàn)y=

2

x的距離取值范圍是（0，

2 6

3

]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式、直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式、分類(lèi)討論思想方法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．