Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a_i=a，a是非零常數(shù)，t是常數(shù)，
（1）當a-1，t=0時，求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）對于給定的常數(shù)a是否存在常數(shù)t，λ使數(shù)列{a_n+λ}是等比數(shù)列．若存在，求出值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知a₁=1，a₂=1，a₃=2a₂，
當n為奇數(shù)時，a_n=2a_n-1=2a_n-2=…=，
當n為偶數(shù)時a_n=；
（2）由已知a₁=a，a₂=a+t，a₃=2a+2t，a₄=2a+3t，
若{a_n+λ}成等比數(shù)列，
則有（a₂+λ）²=（a₁+λ）（a₃+λ），（a₃+λ）²=（a₂+λ）（a₄+λ），
化簡得：a²+aλ=t²，2a²+aλ+3at=-t²，
所以t=-，λ=-，代入數(shù)列{a_n+λ}得到數(shù)列的各項為：，-，，-，…，
則數(shù)列{a_n+λ}為首項是，公比是-1的等比數(shù)列，
故存在t=-，λ=-使得{a_n+λ}成等比數(shù)列．
分析：（1）由已知首項等于1，t=0，代入已知的數(shù)列{a_n}通項公式中，得到當n為奇數(shù)時，第n項等于前一項的2倍；當n為偶數(shù)時，第n項等于第n-1項，分別根據(jù)等比數(shù)列的通項公式寫出各自的通項即可；
（2）根據(jù)已知a_n的分段函數(shù)，分別表示出第1，2，3及4項，根據(jù)數(shù)列{a_n+λ}是等比數(shù)列，得到第2項與λ和的平方等于第1項與λ的和乘以第3項與λ的和，且第3項與λ和的平方等于第2項與λ的和乘以第4項與λ的和，把表示出的四項代入，化簡后得到t與λ關于a的兩關系式，把a看作已知數(shù)解出t和λ，然后把求出的t和λ代入數(shù)列中檢驗，滿足題意，故存在常數(shù)t，λ使數(shù)列{a_n+λ}是等比數(shù)列．
點評：此題考查學生會利用數(shù)列的遞推式得到數(shù)列的通項公式，靈活運用等比數(shù)列的性質化簡求值，是一道中檔題．