Question

在空間中，過點A作平面π的垂線，垂足為B，記B=f_π（A）．設(shè)α，β是兩個不同的平面，對空間任意一點P，Q₁=f_β[f_α（P）]，Q₂=f_α[f_β（P）]，恒有PQ₁=PQ₂，則下列說法錯誤的有

 

．
①平面α一定垂直于平面β；
②平面α與平面β所成銳二面角可能為45°；
③平面α與平面β可能平行；
④平面α與平面β所成銳二面角可能為60°．

Answer 1

考點：平面與平面之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)P₁是點P在α內(nèi)的射影，點P₂是點P在β內(nèi)的射影．根據(jù)題意點P₁在β內(nèi)的射影與P₂在α內(nèi)的射影重合于一點，由此可得四邊形PP₁Q₁P₂為矩形，且∠P₁Q₁P₂是二面角α-l-β的平面角，根據(jù)面面垂直的定義可得平面α與平面β垂直，得到本題答案．

解答： 解：設(shè)P₁=f_α（P），則根據(jù)題意，得點P₁是過點P作平面α垂線的垂足
∵Q₁=f_β[f_α（P）]=f_β（P₁），
∴點Q₁是過點P₁作平面β垂線的垂足
同理，若P₂=f_β（P），得點P₂是過點P作平面β垂線的垂足
因此Q₂=f_α[f_β（P）]表示點Q₂是過點P₂作平面α垂線的垂足
∵對任意的點P，恒有PQ₁=PQ₂，
∴點Q₁與Q₂重合于同一點
由此可得，四邊形PP₁Q₁P₂為矩形，且∠P₁Q₁P₂是二面角α-l-β的平面角
∵∠P₁Q₁P₂是直角，∴平面α與平面β垂直
故①正確，②③④均錯誤．
故答案為：②③④．

點評：本題給出新定義，要求我們判定平面α與平面β所成角大小，著重考查了線面垂直性質(zhì)、二面角的平面角和面面垂直的定義等知識，屬于中檔題