【題目】如圖，在正四棱錐P﹣ABCD中，AB=2，PA= ，E是棱PC的中點(diǎn)，過(guò)AE作平面分別與棱PB、PD交于M、N兩點(diǎn)．
（1）若PM= PB，PN=λPD，求λ的值；
（2）求直線PA與平面AMEN所成角的正弦值的取值范圍．

【答案】
（1）解：連接AC、BD交于點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，﹣ ，0），B （ ，0，0），C（0， ，0），D（﹣ ，0，0），P（0，0，2），E（0， ，1）

， ， ， ， ．

，

∵AN，AE，AM共面，∴


（2）解：根據(jù)正四棱錐P﹣ABCD的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)PM=PN時(shí)，P到面AMEN的距離最大，此時(shí)直線PA與平面AMEN所角最大，

，P到面AMEN的距離最小，此時(shí)直線PA與平面AMEN所角最小．

①由（Ⅰ）知當(dāng)PM=PN時(shí)，λ= ， ，

設(shè)面AMEN的法向量為 ，

由 ， 取

設(shè)直線PA與平面AMEN所成角為θ，sinθ=|cos＜ ＞|= ，

②當(dāng)M在B時(shí)，因?yàn)锳B∥面PDC，所以過(guò)AB，AE的面與面PDC的交線NE∥AB

設(shè) 是面ABEN的法向量，

由 ，可取

sinθ=|cos＜ ＞|= ．

直線PA與平面AMEN所成角的正弦值的取值范圍為[ ， ]


【解析】（1）連接AC、BD交于點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，﹣ ，0），B （ ，0，0），C（0， ，0），D（﹣ ，0，0），P（0，0，2），E（0， ，1）由AN，AE，AM共面， ．（2）根據(jù)正四棱錐P﹣ABCD的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)PM=PN時(shí)，P到面AMEN的距離最大，此時(shí)直線PA與平面AMEN所角最大，P到面AMEN的距離最小，此時(shí)直線PA與平面AMEN所角最�。孟蛄糠謩e求出求解直線PA與平面AMEN所成角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能正確解答此題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù) f（x）=2sin2ωx+2sinωxcosωx﹣1（ω＞0）的周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在上的值域．

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【題目】環(huán)境監(jiān)測(cè)中心監(jiān)測(cè)我市空氣質(zhì)量，每天都要記錄空氣質(zhì)量指數(shù)（指數(shù)采取10分制，保留一位小數(shù)）．現(xiàn)隨機(jī)抽取20天的指數(shù)（見(jiàn)下表），將指數(shù)不低于8.5視為當(dāng)天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良．

天數(shù)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

空氣質(zhì)量指數(shù)

7.1

8.3

7.3

9.5

8.6

7.7

8.7

8.8

8.7

9.1

天數(shù)

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

空氣質(zhì)量指數(shù)

7.4

8.5

9.7

8.4

9.6

7.6

9.4

8.9

8.3

9.3

（Ⅰ）求從這20天隨機(jī)抽取3天，至少有2天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率；
（Ⅱ）以這20天的數(shù)據(jù)估計(jì)我市總體空氣質(zhì)量（天數(shù)很多）．若從我市總體空氣質(zhì)量指數(shù)中隨機(jī)抽取3天的指數(shù)，用X表示抽到空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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【題目】從裝有n+1個(gè)球（其中n個(gè)白球，1個(gè)黑球）的口袋中取出m個(gè)球（0＜m≤n，m，n∈N），共有 種取法．在這 種取法中，可以分成兩類(lèi)：一類(lèi)是取出的m個(gè)球全部為白球，共有 種取法；另一類(lèi)是取出的m個(gè)球有m﹣1個(gè)白球和1個(gè)黑球，共有 種取法．顯然 ，即有等式： 成立．試根據(jù)上述思想化簡(jiǎn)下列式子： = ．

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【題目】設(shè)y=f(t)是某港口水的深度y(米)關(guān)于時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)，其中.下表是該港口某一天從0時(shí)至24時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系：

t

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y

12

15.1

12.1

9.1

12

14.9

11.9

9

12.1

經(jīng)長(zhǎng)期觀察，函數(shù)y=f(t)的圖象可以近似地看成函數(shù)的圖象.⑴求的解析式；⑵設(shè)水深不小于米時(shí)，輪船才能進(jìn)出港口。某輪船在一晝夜內(nèi)要進(jìn)港口靠岸辦事，然后再出港。問(wèn)該輪船最多能在港口�？慷嚅L(zhǎng)時(shí)間？

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（1）求橢圓E的方程；
（2）若橢圓E與x軸交于M、N兩點(diǎn)，橢圓E內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)P使|PM|、|PO|、|PN|成等比數(shù)列，求 的取值范圍．

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【題目】下列說(shuō)法中不正確的是________．(填序號(hào))

①若a∈R，則“＜1”是“a＞1”的必要不充分條件；

②“p∧q為真命題”是“p∨q為真命題”的必要不充分條件；

③若命題p：“x∈R，sin x＋cos x≤”，則p是真命題；

④命題“x0∈R，＋2x0＋3＜0”的否定是“x∈R，x2＋2x＋3＞0”．

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