【題目】已知圓 ,點,以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓,記點的軌跡為.
(1)求曲線的方程;
(2)直線交圓于,兩點,當(dāng)為的中點時,求直線的方程.
【答案】(1);(2)或.
【解析】
試題本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的標準方程和幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,意在考查考生的分析問題解決問題的能力、讀圖能力、運算求解能力. 第一問,設(shè)AB的中點為M,切點為N,連OM,MN,先利用半徑長得出|OM|+|MN|=2,再利用中位線轉(zhuǎn)化邊,得|AB|+|AB|=2(|OM|+|MN|)=4,得到橢圓的定義,從而得到a,b,c的值,寫出橢圓的方程;第二問,利用OB⊥CD,利用向量垂直的充要條件,得到坐標關(guān)系,再結(jié)合橢圓方程,可解出,從而得到直線AB的斜率,得到直線AB的方程.
試題解析:(Ⅰ)設(shè)AB的中點為M,切點為N,連OM,MN,則
|OM|+|MN|=|ON|=2,取A關(guān)于y軸的對稱點A,
連AB,故|AB|+|AB|=2(|OM|+|MN|)=4.
所以點B的軌跡是以A,A為焦點,長軸長為4的橢圓.
其中,a=2,,b=1,則
曲線Γ的方程為. 5分
(Ⅱ)因為B為CD的中點,所以OB⊥CD,
則.設(shè)B(x0,y0),
則. 7分
又解得,.
則kOB=,kAB= , 10分
則直線AB的方程為,即
或. 12分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標系中,平行于軸且過點的入射光線被直線反射,反射光線交軸于點,圓過點,且與、相切.
(Ⅰ)求所在直線的方程;
(Ⅱ)求圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某射擊運動員進行射擊訓(xùn)練,前三次射擊在靶上的著彈點剛好是邊長為的等邊三角形的三個頂點.
(Ⅰ)第四次射擊時,該運動員瞄準區(qū)域射擊(不會打到外),則此次射擊的著彈點距的距離都超過的概率為多少?(彈孔大小忽略不計)
(Ⅱ) 該運動員前三次射擊的成績(環(huán)數(shù))都在區(qū)間內(nèi),調(diào)整一下后,又連打三槍,其成績(環(huán)數(shù))都在區(qū)間內(nèi).現(xiàn)從這次射擊成績中隨機抽取兩次射擊的成績(記為和)進行技術(shù)分析.求事件“”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品,根據(jù)經(jīng)驗,其次品率與日產(chǎn)量 (萬件)之間滿足關(guān)系, (其中為常數(shù),且,已知每生產(chǎn)1萬件合格的產(chǎn)品以盈利2萬元,但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元(注:次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量, 如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品,有1件次品,其余為合格品).
(1)試將生產(chǎn)這種產(chǎn)品每天的盈利額 (萬元)表示為日產(chǎn)量 (萬件)的函數(shù);
(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時,可獲得最大利潤?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國城市空氣污染指數(shù)范圍及相應(yīng)的空氣質(zhì)量類別見下表:
空氣污染指數(shù) | 空氣質(zhì)量 | 空氣污染指數(shù) | 空氣質(zhì)量 | |
0--50 | 優(yōu) | 201--250 | 中度污染 | |
51--100 | 良 | 251--300 | 中度重污染 | |
101--150 | 輕微污染 | >300 | 重污染 | |
151----200 | 輕度污染 |
我們把某天的空氣污染指數(shù)在0-100時稱作A類天,101--200時稱作B類天,大于200時稱作C類天.下圖是某市2014年全年監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽取的18天數(shù)據(jù)作為樣本,其莖葉圖如下:(百位為莖,十.個位為葉)
(1)從這18天中任取3天,求至少含2個A類天的概率;
(2)從這18天中任取3天,記X是達到A類或B類天的天數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界,已知函數(shù)f(x)=1+x+ax2
(1)當(dāng)a=﹣1時,求函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)上的值域,判斷函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)上是否為有界函數(shù),并說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在x∈[1,4]上是以3為上界的有界函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)證明:當(dāng)時,函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù);
(2)當(dāng)時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某公司為提高員工的綜合素質(zhì),聘請專業(yè)機構(gòu)對員工進行專業(yè)技術(shù)培訓(xùn),其中培訓(xùn)機構(gòu)費用成本為12000元.公司每位員工的培訓(xùn)費用按以下方式與該機構(gòu)結(jié)算:若公司參加培訓(xùn)的員工人數(shù)不超過30人時,每人的培訓(xùn)費用為850元;若公司參加培訓(xùn)的員工人數(shù)多于30人,則給予優(yōu)惠:每多一人,培訓(xùn)費減少10元.已知該公司最多有60位員工可參加培訓(xùn),設(shè)參加培訓(xùn)的員工人數(shù)為人,每位員工的培訓(xùn)費為元,培訓(xùn)機構(gòu)的利潤為元.
(1)寫出與 之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)公司參加培訓(xùn)的員工為多少人時,培訓(xùn)機構(gòu)可獲得最大利潤?并求最大利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:,點是橢圓內(nèi)且在軸上的一個動點,過點的直線與橢圓交于,兩點(在第一象限),且.
(Ⅰ)若點為橢圓的下頂點,求點的坐標;
(Ⅱ)當(dāng)(為坐標原點)的面積最大時,求點的坐標.
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