Question

已知橢圓，直線．P是l上點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上且滿足|OQ|•|OP|=|OR|²，當點P在l上移動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

【答案】分析：先設(shè)三個點P、R、Q的坐標分別為（x_P，y_P），（x_R，y_R），（x，y），利用共線條件得出它們坐標的關(guān)系，再依據(jù)條件|OQ|•|OP|=|OR|²，將三點的坐標代入，最終得到關(guān)于x，y的方程即為所求．
解答：解：由題設(shè)知點Q不在原點．設(shè)P、R、Q的坐標分別為（x_P，y_P），（x_R，y_R），（x，y），其中x，y不同時為零．
當點P不在y軸上時，由于點R在橢圓上及點O、Q、R共線，
得方程組
解得
由于點P在直線l上及點O、Q、P共線，得方程組．
解得
當點P在y軸上時，經(jīng)驗證①～④式也成立．
由題設(shè)|OQ|•|OP|=|OR|²，得
將①～④代入上式，化簡整理得
因x與x_p同號或y與yp同號，以及③、④知2x+3y＞0，
故點Q的軌跡方程為（其中x，y不同時為零）．
所以點Q的軌跡是以（1，1）為中心，長、短半軸分別為和且長軸與x軸平行的橢圓、去掉坐標原點．
點評：本小題主要考查直線、橢圓的方程和性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系，軌跡的概念和求法，利用方程判定曲線的性質(zhì)等解析幾何的基本思想和綜合運用知識的能力．