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精英家教網如圖,已知∠BAC在平面α內,P∉α,∠PAB=∠PAC,求證:點P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上.
分析:作PO⊥α,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分別為O,E,F,連接OE,OF,OA,證明Rt△AOE≌Rt△AOF,然后得到點P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上.
解答:精英家教網證明:作PO⊥α,PE⊥AB,PF⊥AC,
垂足分別為O,E,F,連接OE,OF,OA,
PE⊥AB,PF⊥AC
∠PAE=∠PAF
PA=PA
?Rt△PAE≌Rt△PAF?AE=AF,
PO⊥α
AB?α
?AB⊥PO
,
又∵AB⊥PE,PO∩PE=P,
∴AB⊥平面PEO,
∴AB⊥OE,同理AC⊥OF.
在Rt△AOE和Rt△AOF,AE=AF,OA=OA,
∴Rt△AOE≌Rt△AOF,∴∠EAO=∠FAO,
即點P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上.
點評:本題考查三垂線定理,考查學生邏輯思維能力,是基礎題.
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[  ]

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