Question

一個(gè)點(diǎn)（x，y）隨機(jī)落在區(qū)域

x≥0 x≤3 y≥-1 y≤x

內(nèi)，則其恰好落在區(qū)域y＞x²-2x內(nèi)的概率為

3

5

．

Answer 1

分析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖所示的直角梯形OACB．然后利用定積分公式算出梯形OACB內(nèi)落在區(qū)域y＞x²-2x內(nèi)的圖形面積S和直角梯形OACB的面積S'，根據(jù)幾何概型公式加以計(jì)算，可得所求概率．

解答：解：作出不等式組

x≥0 x≤3 y≥-1 y≤x

表示的平面區(qū)域，得到如圖所示的直角梯形OACB．
其中A（0，-1），B（3，3），C（3，-1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
恰好落在區(qū)域y＞x²-2x內(nèi)的圖形為圖中的陰影部分，
其面積為S=

∫

3 0

[x-（x²-2x）]dx=

∫

3 0

（3x-x²）dx=（

3

2

x²-

1

3

x³）

|

3 0

=

9

2

．
∵直角梯形OACB的面積為S'=

1

2

（OA+BC）•AC=

1

2

（1+4）×3=

15

2

．
∴所求概率為P=

S

S‘

=

9 2

15 2

=

3

5

．
故答案為：

3

5

點(diǎn)評(píng)：本題給出不等式組表示的平面區(qū)域，求滿足條件的概率值．著重考查了積分計(jì)算公式、定積分的幾何意義和幾何概型公式等知識(shí)，屬于中檔題．