已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點(diǎn)F2與拋物線C2y2=4x的焦點(diǎn)重合,橢圓C1與拋物線C2在第一象限的交點(diǎn)為P,|PF2|=
5
3
,求橢圓C1的方程.
分析:根據(jù)拋物線的方程,求出焦點(diǎn)坐標(biāo),然后求出橢圓的坐標(biāo),通過定義建立方程,化簡即可得到橢圓C1的方程.
解答:解:∵拋物線C2y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),∴點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(1,0).
∴橢圓C1的左焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為F1(-1,0),拋物線C2的準(zhǔn)線方程為x=-1.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1,y1),由拋物線的定義可知|PF2|=x1+1,
|PF2|=
5
3
,∴x1+1=
5
3
,解得x1=
2
3

y12=4x1=
8
3
,且y1>0,得y1=
2
3
6

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
2
3
2
3
6
)

在橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
中,c=1.
2a=|PF1|+|PF2|=
(
2
3
+1)
2
+(
2
3
6
-0)
2
+
(
2
3
-1)
2
+(
2
3
6
-0)
2
=4

a=2,b=
a2-c2
=
3

∴橢圓C1的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查拋物線的幾何性質(zhì),考查橢圓的定義,考查待定系數(shù)法的運(yùn)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,其中F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點(diǎn),M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn),且|MF2|=
5
3

(1)求橢圓C1的方程;
(2)已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A,C在橢圓C1上,對(duì)角線BD所在的直線的斜率為1.
①當(dāng)直線BD過點(diǎn)(0,
1
7
)時(shí),求直線AC的方程;
②當(dāng)∠ABC=60°時(shí),求菱形ABCD面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一條準(zhǔn)線方程是x=
25
4
,其左、右頂點(diǎn)分別是A、B;雙曲線C2
x2
a2
-
y2
b2
=1
的一條漸近線方程為3x-5y=0.
(1)求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率;
(2)在第一象限內(nèi)取雙曲線C2上一點(diǎn)P,連接AP交橢圓C1于點(diǎn)M,連接PB并延長交橢圓C1于點(diǎn)N,若
AM
=
MP
.求
MN
AB
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
2
2
,直線l:y=x+2
2
與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓C1的方程.
(Ⅱ)設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2,直線l1過點(diǎn)F1,且垂直于橢圓的長軸,動(dòng)直線l2垂直l1于點(diǎn)P,線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡C2的方程;
(Ⅲ)若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦,垂足為右焦點(diǎn)F2,求四邊形ABCD的面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)與雙曲線C2:x2-
y2
4
=1有公共的焦點(diǎn),C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A,B兩點(diǎn),若C1恰好將線段AB三等分,則b2=
0.5
0.5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•汕頭一模)已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,右頂點(diǎn)為A,離心率e=
1
2

(1)設(shè)拋物線C2:y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于F1,求橢圓的方程;
(2)設(shè)已知雙曲線C3以橢圓C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),頂點(diǎn)為焦點(diǎn),b是雙曲線C3在第一象限上任意-點(diǎn),問是否存在常數(shù)λ(λ>0),使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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