Question

如圖的多面體是直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁經(jīng)平面AEFG所截后得到的圖形，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（I）求證：BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）求平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的大小．

Answer 1

分析：（I）由已知中多面體是直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁經(jīng)平面AEFG所截后得到的圖形，由勾股定理可得AD⊥BD，由直平行六面體的幾何特征，可得GD⊥BD，由線面垂直的判定定理，可得BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，分別求出平面AEFG和平面ABCD的一個法向量，代入向量的夾角公式，即可求出平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的大�。�

解答：解：（I）證明：在△BAD中，∵AB=2AD=2，∠BAD=60°
∴由余弦定理，可得BD=

3

∴AB²=AD²+BD²，∴AD⊥BD
又在直平行六面體中，GD⊥平面ABCD，∴GD⊥BD
又AD∩GD=D，∴BD⊥平面ADG（5分）
（Ⅱ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz
∵∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2
則有A（1，0，0），B（0，

3

，0)，G(0，0，1)，E(0，

3

，2)，C(-1，

3

，0）．
∴

AE

=(-1，

3

，2)，

AG

=（-1，0，1）（7分）
設(shè)平面AEFG的法向量為n=（x，y，z）
由

n• AE =-x+ 3 y+2z=0 n• AG =-x+z=0

取n=（1，-

3

3

，1）（9分）
而平面ABCD的一個法向量為

DG

=（0，0，1），（10分）
∴cos?

DG

，n＞=

DG •n

| DG |•|n|

=

21

7

故平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的大小為arccos

21

7

（13分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，其中（I）的關(guān)鍵是證得AD⊥BD和GD⊥BD，（II）的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．