Question

如圖，A，B，C三個觀察哨，A在B的正南，兩地相距6km，C在B的北偏東60°，兩地相距4km．在某一時刻，A觀察哨發(fā)現(xiàn)某種信號，并知道該信號的傳播速度為1km/s；4秒后B，C兩個觀察哨同時發(fā)現(xiàn)這種信號．在以過A，B兩點的直線為y軸，以線段AB的垂直平分線為x軸的平面直角坐標系中，試求出發(fā)了這種信號的地點P的坐標．

Answer 1

分析：設(shè)點P的坐標為（x，y），則A（0，-3），B（0，3），C（2

3

，5）．由于|PB|=|PC|，可得點P在BC的中垂線上．利用斜率計算公式、中點坐標公式可得k_BC、點D的坐標，利用相互垂直的直線的斜率之間的關(guān)系可得k_PD，進而得到直線PD方程．又由|PB|-|PA|=4，可得點P必在以A，B為焦點的雙曲線的下支上，可得雙曲線的方程，聯(lián)立即可得出點P的坐標．

解答：解：設(shè)點P的坐標為（x，y），則A（0，-3），B（0，3），C（2

3

，5）．
∵|PB|=|PC|，∴點P在BC的中垂線上．
∵kBC=

3

3

，BC中點D（

3

，4），
∴直線PD方程為y-4=-

3

(x-

3

)①．                 
又∵|PB|-|PA|=4，∴點P必在以A，B為焦點的雙曲線的下支上，
雙曲線方程為

y2

4

-

x2

5

=1，(y≤0)②
聯(lián)立①②，解得y=-8，或y=

32

11

（舍去），
∴x=5

3

，
∴P點坐標為（5

3

，-8）．

點評：熟練掌握雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、中垂線的性質(zhì)、斜率計算公式、中點坐標公式、相互垂直的直線的斜率之間的關(guān)系等是解題的關(guān)鍵．