Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c且acosC+c=b．
（1）求角A的大�。�
（2）若a=1，求△ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先利用正弦定理化邊為角，可得2RsinAcosC+2RsinC=2RsinB，然后利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)可得cosA=，進(jìn)而求出∠A．
（2）首先利用正弦定理化邊為角，可得l=1+，然后利用誘導(dǎo)公式將sinC轉(zhuǎn)化為sin（A+B），進(jìn)而由兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)可得l=1+2sin（B+），從而轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)求值域問題求解；或者利用余弦定理結(jié)合均值不等式求解．
解答：解：（1）∵accosC+c=b，
由正弦定理得2RsinAcosC+2RsinC=2RsinB，
即sinAcosC+sinC=sinB，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinC=cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴，
又∵0＜A＜π，
∴．
（2）由正弦定理得：b==，c=，
∴l(xiāng)=a+b+c
=1+（sinB+sinC）
=1+（sinB+sin（A+B））
=1+2（sinB+cosB）
=1+2sin（B+），
∵A=，∴B，∴B+，∴，
故△ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍為（2，3]．
（2）另解：周長(zhǎng)l=a+b+c=1+b+c，
由（1）及余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²=bc+1，
∴（b+c）²=1+3bc≤1+3（）²，
解得b+c≤2，
又∵b+c＞a=1，
∴l(xiāng)=a+b+c＞2，
即△ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍為（2，3]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦定理、余弦定理、兩角和與差的正弦公式、均值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了基本運(yùn)算能力．