Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，平面PAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）證明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PA=

2

PD=

2

AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)AD=a，AB=2AD=2a，BD=

3

a，得出：BD⊥AD，BD⊥平面PAD，即可得證PA⊥BD
（Ⅱ）分別以

DA

，

DB

，

DP

為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求解設(shè)平面PAB的法向量為

n

=（x，y，z），設(shè)平面PBC的法向量為

m

，利用向量的數(shù)量積求解夾角的余弦值，注意是鈍二面角．

解答： 證明：（Ⅰ）四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，平面PAD⊥底面ABCD．
設(shè)AD=a，AB=2AD=2a，BD=

3

a，
∴根據(jù)勾股定理得出：BD⊥AD，
∵平面PAD⊥底面ABCD．平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴BD⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，
PA⊥BD
解：（Ⅱ）∵PA=

2

PD=

2

AD，∴PA²=PD²+AD²，∴PD⊥AD，
由（Ⅰ）可知BD⊥平面PAD，AD，BD?平面PAD，
∴BD⊥AD，BD⊥PD
如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長為單位長，
分別以

DA

，

DB

，

DP

為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系
則A（1，0，0），B（0，

3

，0），C（-1，

3

，0），P（0，0，1）．

AB

=（-1，

3

，0），

PB

=（0，

3

，-1），

BC

=（-1，0，0）
設(shè)平面PAB的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • AB =0 n • PB =0

，
即 

-x+ 3 y=0 3 y-z=0

因此可取

n

=（

3

，1，

3

），
設(shè)平面PBC的法向量為

m

，則

m • PB =0 m • BC =0

可取

m

=（0，-1，-

3

），cos＜

m

，

n

＞=

-4

2 7

=-

2 7

7

，
∵二面角A-PB-C是鈍二面角
故二面角A-PB-C的余弦值為 -

2 7

7

．

點(diǎn)評：本題考查了空間幾何體中的直線與平面的位置關(guān)系，直線與直線的垂直，運(yùn)用空間向量求解二面角大小，關(guān)鍵是求解法向量．