Question

2．化簡：$\frac{（1+sinx+cosx）（sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}）}{\sqrt{co{s}^{2}\frac{x}{2}}}$（0＜x＜π）．

Answer 1

分析 直接將原式的分子分母同時乘以：sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$，再運用倍角公式和降冪公式對該式進行化簡．

解答 解：因為x∈（0，π），所以cos$\frac{x}{2}$＞0，
原式=$\frac{（1+sinx+cosx）（sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}）（sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）}{cos\frac{x}{2}（sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）}$
=-$\frac{（1+sinx+cosx）•cosx}{cos\frac{x}{2}sin\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}}$
=-$\frac{（1+sinx+cosx）cosx}{\frac{1}{2}sinx+\frac{1}{2}（1+cosx）}$
=-$\frac{2（1+sinx+cosx）cosx}{1+sinx+cosx}$
=-2cosx，
即原式=-2cosx．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，涉及到正弦和余弦的倍角公式，降冪公式的運用，屬于中檔題．