Question

13．設命題p：實數x滿足x²-4ax+3a²＜0，a＞0；命題q：實數x滿足$\frac{x-3}{2-x}≥0$．
（1）若a=1，p∧q為真命題，求x的取值范圍；
（2）若?p是?q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，p真：1＜x＜3，q真：2＜x≤4，由p∧q為真，能求出x的取值范圍．
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，則q是p的充分不必要條件，由a＞0，知p：a＜x＜3a，q：2＜x≤3，由此能求出a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=1時，若命題p為真命題，則不等式x²-4ax+3a²＜0可化為x²-4x+3＜0，
解得1＜x＜3；
若命題q為真命題，則由滿足$\frac{x-3}{2-x}≥0$，解得2＜x≤3．
∵p∧q為真命題，則p真且q真，
∴實數x的取值范圍是（2，3）．
（2）由x²-4ax+3a²＜0，解得（x-3a）（x-a）＜0，又a＞0，∴a＜x＜3a
設p：A={x|a＜x＜3a，a＞0}     q：B={x|2＜x≤3}
∵若￢p是￢q的充分不必要條件，則q是p的充分不必要條件，
∴B?A
∴有$\left\{{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a＞3}\end{array}}\right.$，解得1≤a≤2
∴實數a的取值范圍是[1，2]．

點評 本題考查復合命題的應用和必要條件、充分條件、充要條件的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．