Question

12．將函數(shù)f（x）=cos2x圖象向左平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）個單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞減，且函數(shù)g（x）的最大負(fù)零點在區(qū)間（-$\frac{π}{6}$，0）上，則φ的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]
• B． [$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{12}$）
• C． （$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]
• D． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞減，可得2•（-$\frac{π}{6}$）+2φ≥2kπ，且2•$\frac{π}{6}$+2φ≤2kπ+π，k∈Z，求得kπ+$\frac{π}{6}$≤φ≤kπ+$\frac{π}{3}$ ①．再根據(jù)函數(shù)g（x）的最大負(fù)零點在區(qū)間（-$\frac{π}{6}$，0）上，可得 $\frac{π}{4}$-φ＜0，且$\frac{π}{4}$-φ＞-$\frac{π}{6}$，求得$\frac{π}{4}$＜φ＜$\frac{5π}{12}$ ②，由①②求得φ的取值范圍．

解答 解：將函數(shù)f（x）=cos2x圖象向左平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）個單位后得到函數(shù)g（x）=cos（2x+2φ）的圖象，
若函數(shù)g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞減，2•（-$\frac{π}{6}$）+2φ≥2kπ，且2•$\frac{π}{6}$+2φ≤2kπ+π，k∈Z，
求得kπ+$\frac{π}{6}$≤φ≤kπ+$\frac{π}{3}$ ①．
令2x+2φ=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$-φ，根據(jù)函數(shù)g（x）的最大負(fù)零點在區(qū)間（-$\frac{π}{6}$，0）上，
∴$\frac{π}{4}$-φ＜0，且 $\frac{π}{4}$-φ＞-$\frac{π}{6}$，求得$\frac{π}{4}$＜φ＜$\frac{5π}{12}$ ②，
由①②求得φ的取值范圍為（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的單調(diào)性及零點，屬于中檔題．